Logika definicje rozdz. II

Imię własne

Miano wyróżniające tylko jeden obiekt. W rachunku predykatów jako imion własnych używa się liter a, b,c.

Deskrypcja

Wyrażenie będące charakterystyką odnoszącą się do co najwyżej jednego obiektu, które przeto oznacza co najwyżej jeden obiekt.

Termin jednostkowy

Imiona własne, deskrypcje oraz pozostałe wyrażenia w rachunku predykatów.

Funktor jednoargumentowy

Wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje termin jednostkowy.

Funktor dwuargumentowy

Wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje termin jednostkowy.

Zmienna indywiduowa

Wyrażenie występujące w rachunku predykatów, za które wolno wstawić dowolny termin jednostkowy. Jako zmiennym indywiduowych używa się liter x, y,z. O ile za różne zmienne indywiduowe wolno wstawić ten sam termin jednostkowy o tyle za jedną zmienną występującą w danym wyrażeniu kilkakrotnie nie wolno wstawić różnych terminów jednostkowych. Wstawienie musi być bowiem konsekwentne.

Term

1. Każda zmienna indywiduowa jest termem i każde imię własne jest termem. 2. Jeżeli wyrażenia postaci w1... wn są termami, to termem jest także wyrażenie fnk(w1... wn) (dla każdego k). W rachunku predykatów termami są wszystkie zmienne indywiduowe i wszystkie imiona własne.

Predykat jednoargumentowy

Wyrażenie, które z jednym terminem jednostkowym daje zdanie.

Predykat dwuarhumentowy

Wyrażenie, które z dwoma terminami jednostkowymi daje zdanie.

Formuła zdaniowa atomowa

Wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n-argumentowego predykatu n-tki termów.

Zdanie atomowe

Wyrażenie powstałe przez stosowne dołączenie do n-argumentowego predykatu n-tki terminów jednostkowych.

Zdanie molekularne

Zdanie zbudowane z jednego lub więcej zdań atomowych i co najmniej jednego spójnika.

Zasięg dużego/małego kwantyfikatora

Wyrażenie występujące w nawiasach bezpośrednio po dużym/małym kwantyfikatorze.

Zmienna związana

Zmienna występująca w zasięgu odnoszącego się do niej kwantyfikatora.

Zmienna wolna

Zmienna występująca w danym miejscu wyrażenia nie będąc tam zmienną związaną.

Formuła zdaniowa rachunku predykatów

1. Każda formuła zdaniowa atomowa rachunku predykatów jest formułą zdaniową rachunku predykatów. 2. Jeżeli wyrażenie postaci A jest formułą zdaniową rachunku predykatów, to jest też formułą zdaniową rachunku predykatów wyrażenie postaci ~A. 3. Jeżeli wyrażenia postaci A i B są formułami zdaniowymi rachunku predykatów, to są też formułami zdaniowymi rachunku predykatów wyrażenia postaci A^B AvB A>B A=B. 4. Jeżeli wyrażenie postaci A jest formułą zdaniową rachunku predykatów, to formułami zdaniowy

Zdanie rachunku predykatów

Formuła zdaniowa nie zawierająca zmiennych wolnych.

Prawo zastępowania dużego kwantyfikatora przez mały kwantyfikator

Jeśli dla każdego x jest A to dla pewnego x jest A.

Prawo przestawiania dużych kwantyfikatorów

Dla każdego x każdy y jest taki, że A wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego y każdy x jest taki, że A.

Prawo przestawiania małych kwantyfikatorów

Dla pewnego x istnieje taki y, że A wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego y istnieje taki x, że A.

Prawo przestawiania małego kwantyfikatora z dużym

Jeśli istnieje taki x, iż dla każdego y jest A, to dla każdego y istnieje taki x, że jest A.

Prawo negowania dużego kwantyfikatora

Dla każdego c jest A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki x, dla którego nie jest A.

Prawo negowania małego kwantyfikatora

Nie istnieje taki x, dla którego jest A wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x nie jest A.

Prawo zastępowania dużego kwantyfikatora

Dla każdego x jest A wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje taki z, dla którego nie jest A.

Prawo zastępowania małego kwantyfikatora

Istnieje taki x, dla którego jest A wtedy i tylko wtedy gdy nie jest tak, że dla każdego x nie jest A.

Prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem implikacji

Jeśli dla każdego x jest tak, iż jeżeli A to B, to jeżeli dla każdego x jest A to dla każdego x jest B.

Prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem implikacji

Jeśli dla każdego x jest tak, iż jeżeli A to B, to jeżeli istnieje taki x, dla którego jest A, to istnieje taki x, dla którego jest B.

Prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem koniunkcji

Dla każdego x jest A i B wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x jest A i dla każdego x jest B.

Prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem alternatywy

Istnieje taki x, dla którego jest A lub B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki x, dla którego jest A lub istnieje taki x, dla którego jest B.

Prawo rozkładania dużego kwantyfikatora względem alternatywy

Jeśli dla każdego x jest A lub dla każdego x jest B, to dla każdego x jest A lub B.

Prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem koniunkcji

Jeśli istnieje taki x, dla którego jest A i B, to istnieje taki x, dla którego jest A i istnieje taki x, dla którego jest B.

Prawo ekstensjonalności dla dużego kwantyfikatora

Jeśli dla każdego x jest tak, że A wtedy i tylko wtedy gdy B, to dla każdego x jest A wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x jest B.

Prawo ekstensjonalności dla małego kwantyfikatora

Jeśli dla każdego x jest tak, że A wtedy i tylko wtedy gdy B, to istnieje taki x, dla którego jest A wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki x, dla którego jest B.